Home | Felietony | Matematyka w grach – Teoria wieży cz.1

Matematyka w grach – Teoria wieży cz.1
Ten tekst przeczytasz w 4 minut

Losowość w grach planszowych realizowana jest na różne sposoby. Najczęściej poprzez rzut kostką (kostkami), dobieranie i odkrywanie kart, odwracanie żetonów czy wyciąganie pewnych przedmiotów z woreczka. Ale są też inne metody i inne „generatory losowości”. Należy do nich specjalna wieża, używana w grach Szogun, Wallenstein i Amerigo. To, jak działa wieża w grze Amerigo i czy działa tak, jak powinna, było nawet  przedmiotem dyskusji na naszym forum zaraz po wejściu na rynek tej gry. Postanowiłem więc sprawdzić działanie wieży i przedstawić swoje obserwacje i przemyślenia na Games Fanatic.

Na czym polega losowanie z użyciem wieży? Otóż na początku gry wrzuca się do niej kolorowe sześciany, które będę dalej nazywał kostkami, choć nie mają żadnych oznaczeń i mogą różnić się tylko kolorami. Część z tych kostek przelatuje przez wieżę, a część w niej pozostaje. Następnie w trakcie rozgrywki do wieży wrzucane są kolejne kostki. I znowu – wrzucona kostka może przez wieżę przelecieć, może się w niej zatrzymać. Ale może także spowodować wypadnięcie z wieży kostek wcześniej do niej wrzuconych, a sama wypaść razem z nimi lub w wieży pozostać. Wynikiem losowania są kostki, które z wieży wypadły.

Wieża okiem gracza

Wieża okiem gracza

Wieża okiem ciekawskiego gracza

Wieża okiem ciekawskiego gracza

Zaczynając od góry, wieża składa się z plastikowego leja, ustawionej pionowo tekturowej rury o przekroju kwadratowym i plastikowej podstawy, stanowiącej „dziedziniec” wieży, czyli miejsce, w którym zatrzymują się wypadające z wieży kostki. Wewnątrz rury znajdują się dwie poziome przegrody (piętra) z wyciętymi otworami oraz nachylona pod kątem 30 stopni do poziomu pochylnia, kierująca wypadające kostki na dziedziniec. Na poniższym rysunku widać wieżę w przekroju pionowym.

Wieża okiem konstruktora

Wieża okiem konstruktora

Stanowiący górną część wieży lej ma dwa prostopadłe i przecinające się na środku żebra, które stanowią jego usztywnienie i jednocześnie przeszkodę dla kostek. Wprawdzie żebra są tak wykonane, że kostki się na nich nie mogą zatrzymać, ale trafiając na żebra zmieniają tor ruchu. Kostki mogą natomiast zatrzymać się na piętrach, których widok z góry pokazany jest na rysunkach. Jeżeli kostka przeleci przez jeden z otworów górnego, a następnie dolnego piętra, to zsuwa się z pochylni i ląduje na dziedzińcu.

Wieża okiem analityka

Wieża okiem analityka

Przedstawiony tu opis nie ma charakteru ściśle technicznego, a raczej poglądowy, nie podaję więc dokładnych wymiarów poszczególnych elementów, z wyjątkiem szerokości kilku wycięć na górnym piętrze. Dlaczego akurat te wymiary są godne dokładnego zaprezentowania? Otóż krawędź kostki ma długość 8 mm czyli nieco mniej niż szerokość tego wycięcia. Ale za to przekątna ściany kostki jest od tej szerokości nieco większa. Jakie to ma znaczenie, nietrudno zgadnąć. Gdyby jednak ktoś nie zgadł, to znajdzie wyjaśnienie w dalszej części artykułu.

Zajmijmy się teraz ruchem kostek. Na pierwszy rzut oka sprawa wydaje się prosta. Wypuszczona przez gracza  z ręki kostka spada swobodnie tak, jak jabłko, które obserwował Newton. Ale żeby ten ruch fizycznie opisać, trzeba przede wszystkim wiedzieć, w którym miejscu gracz kostkę z ręki wypuścił, czyli znać współrzędne punktu startowego. I to znać z dużą dokładnością, bo nawet milimetr przesunięcia w bok może skutkować tym, że kostka nie zatrzyma się na piętrze, tylko przeleci dalej. Ale to nie wszystko. Znaczenie może także mieć początkowe ustawienie kostki w przestrzeni, czyli nachylenie jej ścianek do poziomu. Tak więc od samego początku mamy sporo niewiadomych czy może raczej – parametrów trudnych do zmierzenia. A dalej sprawa jeszcze się komplikuje. Jak już pisałem wcześniej, spadające kostki mogą po drodze trafić na żebra, stanowiące część leja, albo na brzegi leja, odbić się lub ześlizgnąć i przez to zyskać prędkość poziomą i obrotową. Trzeba też pamiętać o tym, że zazwyczaj gracz wrzuca do wieży więcej niż jedną kostkę i lecące wspólnie kostki mogą się ze sobą zderzać, co także wpływa na ich ruch.

Przejdźmy wreszcie do rzeczy najważniejszej – co się dzieje, gdy spadająca kostka znajdzie się na wysokości jednego z pięter. Przede wszystkim może ona trafić albo na tekturę, albo na wycięcie czyli powietrze. Jeżeli trafi na wycięcie, to zazwyczaj spada niżej – na kolejne piętro albo na pochyloną płaszczyznę, z której zsuwa się na dziedziniec. Zazwyczaj, ale nie zawsze – bo może dojść do sytuacji, którą zasygnalizowałem wcześniej, a teraz chciałbym pokazać. Jeżeli kostka trafi na wąską szczelinę, a jest ustawiona pod odpowiednim kątem, to jak widać na rysunku może zawisnąć i nie spadnie dalej.

Wieża okiem matematyka

Wieża okiem matematyka

Jeżeli kostka trafi na tekturową powierzchnię piętra, to może albo od razu się po niej przesunąć, albo najpierw odbić częściowo sprężyście i dopiero później zacząć się przesuwać. Długość tego przesunięcia zależna jest od prędkości poziomej kostki w chwili zetknięcia z płaszczyzną, a także kąta nachylenia i prędkości kątowej. Najistotniejsze w tym przesunięciu jest to, czy na całej jego trasie środek ciężkości kostki jest nad tekturą czy też, choć przez chwilę, nad powietrzem. Bo jeżeli podczas przesuwania się kostka przekroczy brzeg otworu, to spadnie niżej, o ile oczywiście nie zawiesi się, jak na rysunku powyżej.

Jak widać z powyższych rozważań, mamy tak dużo zmiennych, które trzeba by uwzględnić, a przede wszystkim tyle niewiadomych, że nie da się przewidzieć ani policzyć, czy kostka zatrzyma się na którymś piętrze, czy też wypadnie z wieży. I bardzo dobrze, bo dzięki temu wieża może być dobrym generatorem losowości. Do analizy tego, jak działa wieża trzeba zamiast mechaniki deterministycznej zastosować metodę statystyczną, o czym będzie można przeczytać w następnych odcinkach „Teorii wieży”.

8 komentarzy

  1. Andy

    Choć z matematyką zawsze byłem na bakier, to dla mnie zarówno temat, jak i jego przedstawienie kapitalne! Już czekam na następne części. :)

  2. Avatar

    Również czekam na dalsze części.
    W tym obalenie mitu, w który nadal wielu wierzy, że wiele (rzutów) kości to duża losowość. :)

    • Avatar

      A to już zależy od tego, ile dla ciebie oznacza „wiele”. Stosowanie prawa wielkich liczb w odniesieniu do (znanych mi) gier planszowych jest, delikatnie mówiąc, na wyrost.

  3. RAJ

    Fajne, ale mam istotną moim zdaniem uwagę. Z warunków początkowych istotne nie tylko będzie pozycja i ułożenie kostki w przestrzeni, ale również werktor ruchu i jej energia – zarówno kinetyczna jak i potencjalna.
    Innymi słowy ma znaczenie w jaki sposób wrzucimy kostkę do wieży (ruch ręki a także wysokość z jakiej wypuszczamy kostki).
    Oznacza to, że wszelkie rozważania, również statystyczne mogą okazać się uzależnione od sposobu rzucania, czyli upraszczając – od osoby rzucającego. Może się okazać, że analizy statystyczne prawdziwe dla jednej osoby będą nieprawdziwe dla innych.
    Warto by więc takie analizy przeprowadzić dla co najmniej trzech różnych osób.
    Do tego trzeba by dodać taką kwestię, że inaczej będziemy rzucać podczas długiej serii rzutów testowych a inaczej przy pojedynczych rzutach podczas rozgrywki.

  4. efkon

    Są dwie możliwości: kostka przeleci albo zostanie. Prawdopodobieństwo wynosi zatem 50%… Co wynika bezpośrednio z przeniesienia dowodu prawdopodobieństwa, że rzucona moneta stanie na sztorc :):):)

  5. MichalStajszczak

    Jak słusznie zauważył RAJ, uprościłem nieco zagadnienie poprzez założenie, że kostka jest wypuszczona z ręki gracza z zerowymi prędkościami liniowymi i obrotowymi. Oczywście można sobie wyobrazić różne sytuacje: jeden gracz wypuszcza kostki z nieruchomej ręki, drugi kręci ręką przed i w trakcie puszczania kostek, trzeciemu ręka drży ze zdenerwowania itd. Niemniej jednak ja właśnie chciałem pokazać, że nawet wtedy, gdy ten ruch jest początkowo maksymalnie uproszczony, to ze względu na zderzenia z innymi kostkami oraz z elementami leja wieży, w chwili zetknięcia z powierzchnią piętra ruch ten jest już bardzo złożony. A ponadto mamy tyle niewiadomych, że nie da się przewidzieć zachowania kostki, nawet gdybyśmy rozwiązali równania jej ruchu. Oczywiscie to kto i jak wrzuca kostki do wieży może mieć znaczenie nie tylko w analizie fizycznej, ale także statystycznej. Wybiegając nieco naprzód mogę napisać, że zdawałem sobie z tego sprawę i w drugim odcinku Teorii wieży, przy omawianiu wyników pewnego eksperymentu zaznaczyłem, że uzyskane wyniki dotyczą „mojego egzemplarza wieży i kostek wrzucanych moją ręką”.

  6. Veridiana

    następna część będzie opublikowana najprawdopodobniej w środę

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.
Cookies settings
Accept
Privacy & Cookie policy
Privacy & Cookies policy
Cookie name Active

Privacy Policy

What information do we collect?

We collect information from you when you register on our site or place an order. When ordering or registering on our site, as appropriate, you may be asked to enter your: name, e-mail address or mailing address.

What do we use your information for?

Any of the information we collect from you may be used in one of the following ways: To personalize your experience (your information helps us to better respond to your individual needs) To improve our website (we continually strive to improve our website offerings based on the information and feedback we receive from you) To improve customer service (your information helps us to more effectively respond to your customer service requests and support needs) To process transactions Your information, whether public or private, will not be sold, exchanged, transferred, or given to any other company for any reason whatsoever, without your consent, other than for the express purpose of delivering the purchased product or service requested. To administer a contest, promotion, survey or other site feature To send periodic emails The email address you provide for order processing, will only be used to send you information and updates pertaining to your order.

How do we protect your information?

We implement a variety of security measures to maintain the safety of your personal information when you place an order or enter, submit, or access your personal information. We offer the use of a secure server. All supplied sensitive/credit information is transmitted via Secure Socket Layer (SSL) technology and then encrypted into our Payment gateway providers database only to be accessible by those authorized with special access rights to such systems, and are required to?keep the information confidential. After a transaction, your private information (credit cards, social security numbers, financials, etc.) will not be kept on file for more than 60 days.

Do we use cookies?

Yes (Cookies are small files that a site or its service provider transfers to your computers hard drive through your Web browser (if you allow) that enables the sites or service providers systems to recognize your browser and capture and remember certain information We use cookies to help us remember and process the items in your shopping cart, understand and save your preferences for future visits, keep track of advertisements and compile aggregate data about site traffic and site interaction so that we can offer better site experiences and tools in the future. We may contract with third-party service providers to assist us in better understanding our site visitors. These service providers are not permitted to use the information collected on our behalf except to help us conduct and improve our business. If you prefer, you can choose to have your computer warn you each time a cookie is being sent, or you can choose to turn off all cookies via your browser settings. Like most websites, if you turn your cookies off, some of our services may not function properly. However, you can still place orders by contacting customer service. Google Analytics We use Google Analytics on our sites for anonymous reporting of site usage and for advertising on the site. If you would like to opt-out of Google Analytics monitoring your behaviour on our sites please use this link (https://tools.google.com/dlpage/gaoptout/)

Do we disclose any information to outside parties?

We do not sell, trade, or otherwise transfer to outside parties your personally identifiable information. This does not include trusted third parties who assist us in operating our website, conducting our business, or servicing you, so long as those parties agree to keep this information confidential. We may also release your information when we believe release is appropriate to comply with the law, enforce our site policies, or protect ours or others rights, property, or safety. However, non-personally identifiable visitor information may be provided to other parties for marketing, advertising, or other uses.

Registration

The minimum information we need to register you is your name, email address and a password. We will ask you more questions for different services, including sales promotions. Unless we say otherwise, you have to answer all the registration questions. We may also ask some other, voluntary questions during registration for certain services (for example, professional networks) so we can gain a clearer understanding of who you are. This also allows us to personalise services for you. To assist us in our marketing, in addition to the data that you provide to us if you register, we may also obtain data from trusted third parties to help us understand what you might be interested in. This ‘profiling’ information is produced from a variety of sources, including publicly available data (such as the electoral roll) or from sources such as surveys and polls where you have given your permission for your data to be shared. You can choose not to have such data shared with the Guardian from these sources by logging into your account and changing the settings in the privacy section. After you have registered, and with your permission, we may send you emails we think may interest you. Newsletters may be personalised based on what you have been reading on theguardian.com. At any time you can decide not to receive these emails and will be able to ‘unsubscribe’. Logging in using social networking credentials If you log-in to our sites using a Facebook log-in, you are granting permission to Facebook to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth and location which will then be used to form a Guardian identity. You can also use your picture from Facebook as part of your profile. This will also allow us and Facebook to share your, networks, user ID and any other information you choose to share according to your Facebook account settings. If you remove the Guardian app from your Facebook settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a Google log-in, you grant permission to Google to share your user details with us. This will include your name, email address, date of birth, sex and location which we will then use to form a Guardian identity. You may use your picture from Google as part of your profile. This also allows us to share your networks, user ID and any other information you choose to share according to your Google account settings. If you remove the Guardian from your Google settings, we will no longer have access to this information. If you log-in to our sites using a twitter log-in, we receive your avatar (the small picture that appears next to your tweets) and twitter username.

Children’s Online Privacy Protection Act Compliance

We are in compliance with the requirements of COPPA (Childrens Online Privacy Protection Act), we do not collect any information from anyone under 13 years of age. Our website, products and services are all directed to people who are at least 13 years old or older.

Updating your personal information

We offer a ‘My details’ page (also known as Dashboard), where you can update your personal information at any time, and change your marketing preferences. You can get to this page from most pages on the site – simply click on the ‘My details’ link at the top of the screen when you are signed in.

Online Privacy Policy Only

This online privacy policy applies only to information collected through our website and not to information collected offline.

Your Consent

By using our site, you consent to our privacy policy.

Changes to our Privacy Policy

If we decide to change our privacy policy, we will post those changes on this page.
Save settings
Cookies settings