Matematyka w grach – Teoria wieży cz.4 Ten tekst przeczytasz w 5 minut

Dotychczas pisałem głównie o tym, co się dzieje w wieży. Dla gracza istotniejsza jest informacja o tym, jakie kostki z niej wypadają. Wynika to oczywiście z roli, jaką w grze Amerigo pełni wieża. A przypominam, że jest ona generatorem losowości i określa, jakie akcje gracze mogą w danej fazie wykonać i ile razy można przeprowadzić wybraną akcję. Dostępne akcje wyznaczane są przez kolory kostek, które wypadły z wieży, a liczbę akcji limituje liczba kostek w najliczniejszym kolorze. Rozkłady tych zmiennych losowych wyznaczyłem z symulacji 20 rozgrywek, czyli z tych samych danych, z których korzystałem w poprzednim odcinku. 

Jak widać na wykresie, najczęściej gracze mają do dyspozycji dwie, trzy lub jedną opcję. Ani razu nie zdarzyła się możliwość wykonania wszystkich siedmiu akcji, a tylko kilka razy sześciu. Nie wiem wprawdzie, jakie były intencje autora gry, ale moim zdaniem wygląda to rozsądnie. Z pewnością źle by było, gdyby gracze mieli za każdym razem bardzo szeroki wybór. Nie tyle ze względu na możliwy w takich przypadkach paraliż decyzyjny, ale przede wszystkim dlatego, że byłoby „zbyt łatwo” – gracz, rezygnując w danej fazie z jakiejś opcji wiele by nie ryzykował, bo mógłby bez problemu wybrać ten kolor w jednej z następnych faz. Gdyby z kolei najczęściej wypadał jeden kolor (oczywiście w każdej fazie rundy inny), to byłoby jeszcze gorzej, bo żadnych decyzji gracz by nie miał.

Z wykresu wynika, że rozkład liczby kostek w kolorze, w którym wypadło ich najwięcej (prawie zawsze jest to kolor właśnie wrzucany) układa się prawie symetrycznie względem maksimum, które stanowią 4 kostki. I znowu – nie znając założeń autora i bez rozegrania dużej liczby partii – nie jestem w stanie ocenić, czy pod tym względem wieża działa dobrze. Jakie mogłyby być skutki dla przebiegu partii, gdyby powtórzeń wybranej akcji było zbyt mało lub zbyt dużo? Gdyby było za mało, to gracze mogliby odczuwać dyskomfort z powodu „zbyt krótkiej kołderki” czyli ciągłego wrażenia, że nie są w stanie zrobić w pełni tego, co by chcieli. Z kolei przy zbyt dużej liczbie powtórzeń mogłoby się pod koniec gry okazać, że gracz rezygnuje z ruchu, bo zdążył już zrobić wszystko, co było w grze do zrobienia.

Jak pisałem w poprzednim odcinku, ani razu podczas tej symulacji 20 rozgrywek nie zdarzyła się sytuacja, by żadna kostka z wieży nie wypadła. Oczywiście taka sytuacja jest możliwa i nawet ujęta w przepisach gry. Kiedy może się zdarzyć? Otóż z przeprowadzonych przeze mnie eksperymentów wynika, że zdarzała się tylko wtedy, gdy w wieży było mniej niż 10 kostek, a wrzucałem do niej nie więcej niż 3. Jak łatwo zauważyć (trochę trudniej policzyć, ale też się da) jednoczesne spełnienie tych warunków jest bardzo trudne, bo wymaga, żeby wśród 8 czy 9 kostek w wieży aż 4 były takiego samego koloru.

A jakie są proporcje kolorów wśród kostek, które z wieży wypadają? Nie chodzi mi tu o to, czy częściej wypadają kostki czerwone czy zielone, tylko o udział kolorów rozpatrywanych „chronologicznie”. Co przez to rozumiem, wyjaśnię za chwilę. Na razie kolejny wykres.

Ostatni, najwyższy słupek odnosi się do koloru, którego kostki zostały właśnie wrzucone do wieży. Drugi od prawej to słupek kostek koloru poprzednio wrzucanego itd. Oczywiście kolory rozpatrywane są w cyklu zamkniętym, tak więc, gdy wrzucone były kostki koloru niebieskiego, to kolejne słupki (od lewej do prawej) odpowiadają kolorom czarnemu, czerwonemu, brązowemu, zielonemu, żółtemu, białemu i na końcu niebieskiemu.

Ze względu na to, że udział kostek w kolorze ostatnio wrzucanym jest dominujący, z powyższego wykresu nie bardzo widać, jak układają się proporcje pozostałych kolorów. Dlatego na następnym wykresie pokazuję udziały wszystkich kolorów poza wrzucanym.

Jaki praktyczny wniosek można wyciągnąć z tego wykresu? Otóż skoro najczęściej z wieży wypadają kostki w dwóch kolorach, a spośród kolorów (poza ostatnio wrzucanym) największe szanse na wypadnięcie ma ten, który był wrzucany poprzednio, to jest wysoce prawdopodobne, że w następnej fazie wypadnie z wieży kostka w kolorze, który jest aktualnie do wieży wrzucany. Oczywiście pod warunkiem, że kostki tego koloru znajdują się w wieży, a nie leżą na planszy.

Jak pisałem w poprzednim odcinku, średnio z wieży wypada tyle samo kostek, ile zostało do niej wrzucone. A czy zależy to liczby wrzuconych kostek? Okazuje się, że tak. Gdy wrzucałem mniej niż 6 kostek, wypadało więcej niż zostało wrzucone. Przy 6 wrzuconych kostkach, wypadało średnio 6. Gdy wrzucałem 7, wypadało średnio 6,4 kostki. Ale niezależnie od liczby wrzucanych kostek, około 70% wypadających było tego koloru, który był wrzucany.

Podczas wszystkich eksperymentów liczba kostek w wieży nie przekraczała 25 i nie spadała poniżej 6. Skoro tak było, to nasuwa się oczywisty wniosek, że gdy w wieży jest dużo kostek, to częściej wypada ich więcej, niż zostaje wrzuconych, natomiast gdy w wieży jest ich mało, to średnio wypada mniej. A o tym, czy liczba kostek w wieży ma wpływ na rozkład kolorów kostek, które wypadają, można się dowiedzieć z kolejnego wykresu.

Na wykresie pokazałem udział procentowy kostek wrzucanego koloru wśród kostek wypadających, w funkcji liczby kostek, które były w wieży przed wrzuceniem. Jak widać, im więcej kostek było w wieży, tym więcej wypada kostek w kolorach innych niż wrzucany. Było to oczywiście do przewidzenia, bo skoro przy większej liczbie kostek w wieży, więcej kostek z niej wypada, to o tym przyroście powinny decydować przede wszystkim kostki innych kolorów niż wrzucany.

Na tym chciałbym zakończyć prezentację wyników badań, mających na celu odpowiedź na pytanie „jak działa wieża w grze Amerigo?”. Oczywiście wszystkiego nie sprawdziłem, chociażby wpływu stylu wrzucania kostek. Niemniej jednak uważam, że z tego, co pokazałem w tym i poprzednich odcinkach, można sporo na temat działania wieży wywnioskować. Nie jestem w stanie jednoznacznie stwierdzić, czy wieża działa dobrze, bo jak już wcześniej pisałem, nie wiem jakie w stosunku do niej oczekiwania miał autor gry. Ale z pewnością nie działa aż tak źle, jak sugerowali niektórzy uczestnicy dyskusji na forum.

Jaka jest główna zaleta wieży? Z pewnością pozwala ona na wygenerowanie w jednej operacji dość złożonego wyniku losowania tzn. zarówno liczby akcji, jak i zakresu możliwości czyli układu kolorów. Gdyby chcieć coś takiego uzyskać w inny sposób, to trzeba by np. rzucić dwiema kostkami k6, a następnie wyciągnąć z talii liczbę kart, odpowiadającą sumie wyrzuconych oczek, czyli wykonać kolejno dwie operacje losowania i to nie tak efektownie wyglądające, jak wrzucanie kostek do wieży.