Polimino Ten tekst przeczytasz w 5 minut

Co łączy takie gry, jak Książęta Florencji, Wyspa Kotów, Patchwork i Ubongo? Wszystkie te gry (i jeszcze ponad 200 innych) wykorzystują figury geometryczne zwane po angielsku polyominoes. Jaki jest polski odpowiednik tego słowa? Jeszcze nie wiadomo. Spotkałem się z nazwami polimino, poliomino i wielomino. A jak to wygląda w innych językach? W niemieckim, francuskim i holenderskim używa się angielskiej nazwy polyomino, we włoskim, portugalskim, rosyjskim, ukraińskim i estońskim – polimino, a w hiszpańskim poliomino. Najdziwniejsza jest nazwa plurkvadrato w języku esperanto.

Pojęcia „polyomino” jako pierwszy użył w 1953 roku Solomon Golomb jako uogólnienia  złożonego z dwóch sklejonych kwadratów prostokąta, używanego w grze domino. Polimino n-tego rzędu to n sklejonych ze sobą w taki sposób kwadratów, że krawędzie sąsiednich pokrywają się ze sobą. Jak łatwo zauważyć, domino czyli dwa kwadraty można złączyć ze sobą tylko na jeden sposób, a uzyskaną w ten sposób figurę ułożyć na prostokątnej siatce na dwa sposoby – poziomo i pionowo.

W przypadku trzech kwadratów mamy już dwie możliwości – prostokąt i kątownik. Prostokąt można ustawić na dwa sposoby, a kątownik ma 4 orientacje. Ale nadal nie widać tu nic specjalnie interesującego.

Ciekawiej wygląda sytuacja w przypadku tetromina. Tu mamy już 5 różnych figur. Ale jak ktoś grał w Tetrisa (a jest ktoś, kto nie grał?), to zapewne pamięta sytuacje, w których figura pasowałaby idealnie, gdy dało się ją „odwrócić na lewą stronę”. Dotyczy to dwóch figur, oznaczonych na obrazku na pomarańczowo i zielono. Ale między tymi dwoma figurami jest istotna różnica – pomarańczowa ma 8 orientacji, a zielona tylko 4, bo obrót o 180 stopni nie zmienia orientacji albo raczej dwie orientacje pokrywają się ze sobą.

Najciekawszym poliminem jest zapewne złożone z 5 kwadratów pentomino. Pięć czy nawet siedem kamieni tetromina to trochę za mało, by dało się stworzyć ciekawe zadania, a w dodatku ani z dwustronnego ani jednostronnego zestawu tetromina nie da się np. zbudować prostokąta. Co innego oczywiście dynamiczny tetris ale tu mam na myśli statyczną łamigłówkę. A 12 kamieni pentomina daje już bardzo dużo możliwości. Klasyczne zadanie to oczywiście zbudowanie prostokąta. Prostokąt 3×20 można zbudować na dwa sposoby, 4×15 na 368, 5×12 na 1010, a 6×10 aż na 2339 sposobów ale to nie znaczy, że łatwo to zrobić. Podane liczby dotyczą rozwiązań istotnie różnych tzn. wykluczają obroty i odbicia lustrzane. W książkach np. [1] i [2] a także na różnych stronach internetowych można znaleźć setki a może nawet tysiące różnych zadań tzn. obrazków, które można zbudować z kompletu pentomina.

Ale pentomino to również dwuosobowa gra, polegająca na układaniu kamieni na kwadratowej planszy 8×8. Gracze korzystają ze wspólnego zestawu elementów i układają je na planszy tak, aby na siebie nie zachodziły. Wygrywa ten, kto jako ostatni położy kamień czyli innymi słowy uniemożliwi przeciwnikowi dołożenie jakiegokolwiek kamienia. 

W tabelce przedstawione są podstawowe informacje o zestawach polimin kolejnych rozmiarów.

 

n	Nazwa	Liczba	Liczba	Liczba
		dwustronnych	jednostronnych	orientacji
1	Monomino	1	1	1
2	Domino	1	1	2
3	Tromino	2	2	6
4	Tetromino	5	7	19
5	Pentomino	12	18	63
6	Heksomino	35	60	216
7	Heptomino	108	196	760
8	Oktomino	369	704	2 725
9	Nonomino	1 285	2 500	9 910
	OEIS	A000105	A000988	A001168

  

Jak widać zestaw heksomina ma 35 elementów, a heptomina 108. To już trochę za dużo, żeby dało się z tego zrobić zgrabną łamigłówkę. Jak kogoś interesują dane dla jeszcze większych zestawów, to może je znaleźć na podstawie podanych w ostatnim wierszu symboli (np. A000105), oznaczających numery odpowiednich ciągów w bazie OEIS. 

Na wstępie napisałem, że nazwę polyomino stworzył Solomon Golomb. Nie oznacza to, że to właśnie on wymyślił polimino. Pierwsza łamigłówka, wykorzystująca pentomino została opublikowana w roku 1907. W latach 30-tych XX wieku łamigłówki pentominowe pojawiały się w angielskim czasopiśmie szachowym. Jednak podobnie jak w wielu innych przypadkach, pierwsi byli Chińczycy, którzy wymyślili pentomino już 2 tysiące lat temu i to w kontekście planszówkowym. Starożytni chińscy gracze w go zauważyli, że spójny układ 5 kamieni można utworzyć na 12 sposobów.

W grach mogą być wykorzystywane polimina różnych rzędów. Np. zestaw w grze Blokus to wszystkie 21 polimin od rzędu 1 do 5. W Ubongo używa się 12 kamieni – od domina poprzez tromino i tetromino do niektórych elementów pentomina.

Podobnie jest w grze Kopenhaga – największymi elementami są pentomina ale nie wszystkie są używane. Natomiast w grze  Wyspa Kotów występują niektóre heksomina, a w grze Patchwork nawet heptomina. Trochę „na odwrót” kwestia polimina została rozwiązana w grze Kartografowie. W zestawie nie ma polimin ale gracze je w trakcie rozgrywki rysują. 

Oczywiście poliformy można tworzyć nie tylko z kwadratów ale również z trójkątów równobocznych i sześciokątów foremnych. Recenzowana niedawno na Games Fanatic gra Akropolis ma właśnie żetony w kształcie poliheksów.

Polimina to płaskie figury zbudowane z kwadratów. Trójwymiarowym ich odpowiednikiem są polycubes czyli polisześciany albo może polikubiki. Polikubiki złożone z dwóch lub trzech sześcianów odpowiadają dokładnie płaskim poliminom. Trzeci wymiar zaczyna odgrywać rolę dopiero w przypadku tetrakubików.

Jak widać na obrazku, pierwsze 5 tetrakubików odpowiada dokładnie pięciu tetrominom czyli są to w istocie „bryły płaskie”. Warto natomiast zwrócić uwagę na dwie ostatnie bryły. Są one nawzajem odbiciem lustrzanym ale nie ma możliwości, żeby przez obracanie z jednej z nich otrzymać drugą. Można więc powiedzieć, że są to bryły chiralne. (Przymiotnik „chiralny” pochodzi od greckiego słowa oznaczającego rękę, bo właśnie taki geometryczny związek jest między lewą a prawą dłonią.)

Sześć tetrakubików (wszystkie poza dwoma środkowymi) i jeden polikubik, złożony z trzech sześcianów tworzą łamigłówkę Soma Cube, której autorem jest duński architekt i poeta Piet Hein. Jej podstawowym zadaniem jest zbudowanie sześcianu. Można to zrobić na 240 sposobów ale wcale nie jest to łatwe. Z elementów kostki można również zbudować wiele innych konstrukcji http://web.inter.nl.net/users/C.Eggermont/Puzzels/Soma/overzicht.html

Pentakubików jest w sumie 29. Dwanaście z nich to pentomina, kolejne 12 to sześć par brył chiralnych. Pozostałe pięć ma płaszczyznę symetrii. Pentakubiki można wykorzystać do zbudowania kostki 4x4x4. Jest kilka wersji takiej łamigłówki: Bedlam Cube z 12 pentakubików (w tym trzech płaskich) i jednego tetrakubika, Abraxis również z 12 pentakubików ale samych przestrzennych i jednego tetrakubika oraz Tetris Cube z 4 heksakubików i 8 pentakubików.

Jedyną chyba grą z polikubikami jest Ubongo 3D. Zadaniem gracza jest zbudowanie dwuwarstwowej konstrukcji z trzech do sześciu polikubików, z których największymi są pentakubiki.

Przestrzenne konstrukcje można budować z samych płaskich polikubików. Np. z zestawu 12 pentakubików, stanowiącego odpowiednik zestawu 12 pentomin, można zbudować prostopadłościan 5x4x3. Podobnie jest w przypadku łamigłówek z serii Stax, np. Cat Stax. „Kotokoształtne” elementy tej łamigłówki są geometrycznymi odpowiednikami płaskich polimin, składających się z sześcianów w liczbie dwóch do dziesięciu. A zadania w tej łamigłówce polegają na zbudowaniu konstrukcji, składających się nawet z czterech warstw i niektóre koty trzeba umieścić w kilku warstwach.

1. Robert Hardy „Gry w figury”, Krajowa Agencja Wydawnicza, Warszawa 1983.
2. Zdzisław Nowak „Pentomina i tangramy”, Wydawnictwo Harcerskie „Horyzonty”, Warszawa 1971.