Matematyka w grach – analiza plansz w Zamkach Burgundii cz.2 Ten tekst przeczytasz w 6 minut

Celem moich rozważań jest znalezienie przyczyn tego, że na różnych planszach i przy różnej liczbie graczy średnie wartości liczby zdobytych punktów wykazują statystycznie widoczne różnice. Skoro zajmuję się wartościami średnimi, będę też uśredniał ,czyli rozdzielał po równo między graczy np. punkty zdobywane dzięki żetonom nauki, choć w rozgrywce przypisane są do konkretnych uczestników.

 

Partia Zamków Burgundii składa się z dokładnie 25 rund. Skoro średnie liczby punktów zawierają się w przedziale od 166 do 245, to na jedną rundę przypada średnio od 6,6 do 9,8 punktu. A ile na jedną akcję? Żeby to policzyć, trzeba uwzględnić akcje dodatkowe – zakup żetonów z centralnego czarnego magazynu. W każdej rundzie można wykonać jedną taką akcję, ale oczywiście żadnego gracza nie stać na to, by to robił za każdym razem. Oceniam, że gracz wykonuje 5-10 takich akcji w jednej rozgrywce. Można więc z grubsza oszacować średnią liczbę punktów, zdobywanych przez gracza w jednej akcji na 3-3,5 w grze dwuosobowej, 3,5-4 w grze trzyosobowej i 4-4,5 w czteroosobowej.

Przed rozpoczęciem konkretnych rozważań warto przypomnieć sobie, za co zdobywa się punkty w Zamkach Burgundii, bo zdobywa się je na wiele sposobów, które są często sprzeczne ze sobą.

W trakcie rozgrywki punkty zdobywa się:

• za wielkość zamkniętego regionu (według szeregu liczb trójkątnych),
• za fazę, w której region został zamknięty (im wcześniej, tym więcej punktów),
• za każdą strażnicę, umieszczoną w swojej posiadłości,
• za zwierzęta, wstawiane na pastwiska,
• za sprzedawane towary,
• za zapełnienie jako pierwszy lub drugi wszystkich pól w jednym kolorze.

Po zakończeniu ostatniej rundy gracze otrzymują punkty:

• za niesprzedane żetony towarów,
• za niewykorzystane grudki srebra,
• za niewykorzystane żetony robotników
• za efekty żetonów nauki 15-26.

Zacznijmy od tego, na co ani plansza, ani liczba graczy wpływu nie mają. Tak jest z grudkami srebra. To, że graczowi srebro na koniec gry zostało, wynikać może z kilku powodów. Po pierwsze, jako właściciel kopalni dostaje żetony srebra po każdej fazie gry, również po fazie ostatniej i wtedy wydać go już nie może. Pojedyncza grudka srebra też musi zostać u gracza, bo do zakupu z centralnego magazynu potrzebne są co najmniej dwie. Może się też zdarzyć, że w centralnym magazynie nie ma nic takiego, czego zakup przyniósłby większy zysk punktowy niż grudki srebra, które nie zostały wydane. Ale na żaden z tych powodów plansza ani liczba graczy wpływu nie mają.

Podobnie jest z żetonami robotników. Służą one wyłącznie do zmiany wyników rzutu kostkami. Jeżeli graczowi zostały takie żetony, to dlatego, że miał szczęście w rzutach i wyników zmieniać nie musiał, szczególnie pod koniec gry.

Tu mała dygresja. Często w grach planszowych wyrzucenie dubletu jest dla gracza korzystne. W Zamkach Burgundii wprost przeciwnie. Dublet to rzut zwykle najmniej pożądany, a statystycznie najkorzystniejsze jest wyrzucenie takich liczb oczek, że ich różnica wynosi 3. Pokazuje to poniższa tabelka:

 

W kolejnych kolumnach tabelki pokazana jest liczba sytuacji, w których graczowi będzie potrzebna podana w górnym wierszu liczba robotników. Słowem „sytuacja” określiłem tu parę liczb, odpowiadających akcjom, które gracz chce wykonać. Jak widać, gdy różnica liczb oczek wynosi 3, graczowi zawsze wystarczy maksimum trzech robotników. A przy dublecie może się zdarzyć, że będzie ich potrzebował aż sześciu. Oczywiście zazwyczaj gracz ma pewien wybór i wyników z kostek nie musi aż tak modyfikować. Ale wyobraźmy sobie, że jest to ostatni ruch w partii, gracz ma w magazynie dwa żetony i są dokładnie dwa pola, na których opłaca mu się te żetony umieścić.

Trochę bardziej skomplikowana jest sprawa towarów, bo punktowane są na różne sposoby. Za każdą sztukę sprzedanego towaru gracz otrzymuje tyle punktów, ile osób uczestniczy w grze, a za każdą sztukę niesprzedanego 1 punkt. Do tego może dojść premia, o ile gracz umieścił w swojej posiadłości żeton 15 albo 25. Moim zdaniem zależności od planszy w przypadku towarów nie ma, ale od liczby graczy na pewno jest.

Na początku gry każdy z graczy otrzymuje losowo trzy towary. W 60% przypadków są to trzy różne towary, w 38% – dwa takie same i trzeci inny, tylko w niespełna 2% przypadków gracz ma więcej szczęścia i dostaje trzy takie same. W każdej rundzie w jednym z magazynów na głównej planszy pojawia się jeden towar, a więc przez całą grę 25. Gdyby graczom udało się wziąć z magazynów i sprzedać wszystkie towary, to w grze dwuosobowej każdy zyskałby średnio 31 punktów, w grze trzyosobowej 34, a w grze czteroosobowej – 37 punktów. Oczywiście partia, w której zostaną sprzedane wszystkie towary, jest bardzo mało prawdopodobna. Zazwyczaj w magazynach na planszy głównej jakieś towary zostają i tym częściej się to zdarza, im mniej jest graczy, bo mniej zostanie wykonanych akcji, związanych ze statkami. Rzadko też się zdarza, żeby gracze wszystkie towary sprzedali. I znowu: im mniej graczy, tym zazwyczaj więcej rodzajów towarów u gracza. A co za tym idzie więcej akcji potrzebnych na sprzedanie towarów. Jeżeli się weźmie pod uwagę również to, że w grze dwuosobowej sprzedany towar jest tylko o jeden punkt więcej wart od niesprzedanego, to można przypuszczać, że im mniej graczy, tym więcej niesprzedanych towarów. A to może jeszcze powiększyć różnice między punktami za towary przy różnych liczbach graczy.

Sytuację zmieniają żetony nauki 15 i 25. Pierwszy z nich premiuje trzema punktami każdy rodzaj sprzedanego towaru, a drugi jednym punktem każdą sztukę sprzedanego towaru. Załóżmy na przykład, że w grze dwuosobowej gracz sprzedał 15 towarów w 5 rodzajach, w trzyosobowej – 12 towarów w 4 rodzajach, a w czteroosobowej – 9 towarów w 3 rodzajach. W grze czteroosobowej sprawa jest prosta – żetony nauki przyniosły mu 18 punktów, czyli średnio na gracza przypada 4,5 punktu. Żeby prawidłowo określić średnią w grach dwu- i trzyosobowej trzeba uwzględnić to, że nie wszystkie żetony pojawiają się w grze. W partii trzyosobowej jest blisko 56% szans na to, że oba rozpatrywane żetony będą dostępne i 38% szans, że dostępny będzie jeden. W partii dwuosobowej – 24% szans na to, że w grze pojawią się oba i 51%, że tylko jeden. Z moich obliczeń wynika, że w grze trzyosobowej na gracza przypadnie średnio 6 punktów, a w partii dwuosobowej – 7,5 punktu. Mamy tu przewagę partii dwuosobowej jednakże mniejszą niż przewaga partii czteroosobowej za samą sprzedaż.

Reasumując: im więcej graczy, tym większa liczba punktów, uzyskiwanych przez graczy za towary, ale te różnice są niezbyt duże.

Zanim przejdę do następnego źródła punktów, czyli premii za zapełnienie jako pierwszy lub drugi wszystkich pól w jednym kolorze, proponuję rzut oka na planszę gracza.

 

Wspólną cechą wszystkich plansz jest liczba pól w poszczególnych kolorach: 12 beżowych pól miast, po 6 niebieskich rzek, jasnozielonych pastwisk i żółtych pól nauki, 4 ciemnozielone pola zamków i 3 szare kopalni. Uwzględniając to, że jedno pole zamku jest polem startowym, zapełnianym żetonem przed rozpoczęciem rozgrywki, proporcje liczb pól w poszczególnych kolorach odpowiadają proporcjom liczb pól na głównej planszy.

Czy układ pól na planszy gracza może mieć wpływ na zdobywanie żetonów bonusowych? Gdyby rozpatrywać premie za jeden konkretny kolor, to oczywiście tak. Jak widać na powyższym obrazku, trzy ciemnozielone pola zamków sąsiadują ze sobą i są oddzielone tylko jednym polem od zamku startowego. Można więc zapełnić wszystkie ciemnozielone pola, kładąc na planszy tylko 4 żetony, podczas gdy na planszy numer 2, gdzie ciemnozielone pola są usytuowane w czterech kolejnych narożnikach, potrzeba na to co najmniej 9 żetonów. Ale samo bliskie położenie pól w jednym z kolorów nie oznacza, że gracz będzie w stanie szybko ten kolor ukończyć, bo po pierwsze musi mieć możliwość wzięcia odpowiednich żetonów z głównej planszy, a po drugie mieć odpowiedni układ liczb oczek na kostkach. Przede wszystkim jednak wszystkich kolorów jest 6 i gdy gracz skupi się na szybkim rozwijaniu jednego czy dwóch, dobrze ułożonych na jego planszy, musi zostawić innym graczom premie za pozostałe kolory. Dlatego tez uważam, że nie da się wykazać wpływu wyboru planszy na średnią liczbę punktów za żetony bonusowe.

A jak jest z wpływem liczby graczy na tę średnią? W grze dwuosobowej łączna wartość bonusów wynosi 42 punkty czyli 21 na gracza, w trzyosobowej – 54 (18 na gracza), a w czteroosobowej – 66 (16,5 na gracza). Czy jednak wszystkie żetony bonusowe gracze są w stanie zdobyć? Z poniższego wykresu, uzyskanego na podstawie 1742 partii rozegranych przez czołowych 20 graczy tym razem na portalu yucata.de zamieszczonego w artykule Dana Bravendera wynika, że nie.

 

Na wykresie pokazany jest rozrzut liczby pól, zajętych przez żetony graczy. Jak widać, nigdy nie została zabudowana cała plansza. Zawsze zostało co najmniej 5 pustych pól, a zazwyczaj było takich pól 8 lub 9. Z czego to wynika? Po to, by zapełnić wszystkie pola, potrzeba 72 akcji. „Z kostek” gracz ma akcji 50, o ile żadnej nie wykorzysta na sprzedaż towarów ani na wzięcie robotników. Dodatkowe akcje można uzyskać za wstawienie do swojej posiadłości zamku, stolarni, kościoła, targowiska i ratusza. Gdyby gracz zabudował swoje miasta wyłącznie wyżej wymienionymi budynkami, to miałby w sumie 65 akcji. Oczywiście są jeszcze akcje dodatkowe, ale ponieważ założyliśmy, że gracz nie wykonuje sprzedaży towarów, ani jako odrębnej akcji, ani poprzez postawienie magazynu, nie miałby wystarczającej liczby grudek srebra na zakup 7 żetonów.

Skoro na planszy zostaje zazwyczaj 8 lub 9 pustych pól, gracz jest w stanie ukończyć 3lub 4, rzadziej 5 kolorów. W grze czteroosobowej, gdy gracze stosują różne strategie, jest spora szansa na to, że wszystkie bonusy zostaną rozdane. W grze trzyosobowej szansa na to jest niewielka, a w grze dwuosobowej jest to po prostu niemożliwe. Stąd można wnioskować, że średnia liczba punktów za żetony bonusowe nie różni się zbytnio przy różnych liczbach graczy.