Indeterminizm – cz. 3/3 Ten tekst przeczytasz w 5 minut

Szczęście i umiejętności

Wiele osób uważa, że szczęście jest przeciwieństwem umiejętności. Przy komentowaniu wydarzeń sportowych często zdarzają się dyskusje, czy np. nietypowo zdobyta bramka to efekt szczęścia czy umiejętności, choć zazwyczaj prawidłowym wnioskiem byłaby kombinacja obu tych czynników. Patrząc na grę jako całość można uznać, że szczęście i umiejętności są od siebie niezależne (mówiąc językiem matematyków: ortogonalne). Znajomość „ilości szczęścia” w grze nic nie mówi o tym, jakie są wymagania, co do umiejętności. I na odwrót: poziom niezbędnych umiejętności nie mówi nic o udziale losowości.

Na przykład poker i go wymagają znacznych umiejętności, choć w pokerze znacznie większą niż w go rolę odgrywa szczęście. Do gry w bingo albo kółko i krzyżyk specjalne umiejętności potrzebne nie są, choć bingo jest czysto losowe, a w grze kółko i krzyżyk żadnej losowości nie ma.

Wyobraźmy sobie wariant szachów z użyciem kostki. Dwaj gracze normalnie rozgrywają partię szachów (przy remisie gra jest powtarzana), po czym rzuca się kostką. Gdy wypadnie 1 lub 2, grę wygrywają białe (niezależnie od wyniku na szachownicy), gdy wypadnie 3 lub 4 – wygrywają czarne. Natomiast gdy wypadnie 5 lub 6, wygrywa ten gracz, który odniósł zwycięstwo na szachownicy. Można powiedzieć, że taki wariant wymaga dokładnie takich samych umiejętności, jak klasyczne szachy – całą wiedzę na temat teorii debiutów i końcówek używa się w takim samym zakresie, jak w zwykłych szachach. Niemniej jednak „szachy z kostką” są grą z większym udziałem losu. Prawdopodobnie mistrzem świata w ten wariant szachów zostałby ten sam gracz, który jest mistrzem w zwykłe szachy, bo przecież tak czy inaczej jego szanse w pojedynku z wicemistrzem nadal są większe niż 50%. Ale z pewnością po to, by uzyskać taki ranking graczy, jak w zwykłych szachach, należałoby rozegrać więcej partii. Jaka jest więc relacja między szczęściem a umiejętnościami? Można ją przedstawić tak: losowość w grze zmniejsza nie umiejętności gracza, lecz korzyści z nich wynikające.

Korzyść z umiejętności

Jeżeli w grze jest losowość, najlepszy gracz nie zawsze wygrywa. Im częściej gracz o największych umiejętnościach wygrywa, tym większą „korzyść z umiejętności” gra oferuje. Tak więc ta korzyść z umiejętności jest funkcją zarówno umiejętności, jak i szczęścia.

O ile trudno precyzyjnie zmierzyć zarówno poziom szczęścia, jak i umiejętności gracza, jest możliwość wprowadzenia dość prostej miary korzyści z umiejętności – „łańcucha umiejętności” (skill chain). Wyobraźmy sobie zbiór wszystkich osób, które potrafią grać w jakąś grę. Wybierzmy spośród z nich jedną osobę, a następnie znajdźmy drugą osobę, która pokonuje pierwszą w powiedzmy 60% partii. Następnie znajdźmy trzecią osobę, która z drugą wygrywa 60% partii itd. aż dojdziemy do najlepszego gracza. Teraz zróbmy to samo, tylko w drugą stronę: znajdźmy takiego gracza, który przegrywa z pierwszym 60% partii i powtórzmy tę procedurę dalej, aż dojdziemy do najgorszego gracza. Otrzymamy w ten sposób łańcuch graczy, których można uporządkować kolejno od najlepszego do najgorszego. Co oznacza długość tego łańcucha?

Na pierwszy rzut oka mierzymy umiejętności graczy, bo gracz usytuowany „wyżej” jest lepszy od tego, który jest poniżej. Ale wróćmy do wariantu szachów z kostką. Gracz A, który wygrywa z graczem B 60% partii w zwykłe szachy, w szachy z kostką wygra nieco ponad 53% partii, choć umiejętności obu pozostały bez zmian. Mierzymy zatem nie poziom umiejętności, tylko potencjalną korzyść, która z tych umiejętności wynika. Albo mówiąc innymi słowy: przewagę, jaką gracz ma dzięki temu, że ma większe umiejętności.

Łańcuch umiejętności może być krótki. Trudno znaleźć np. 10 dorosłych osób, dla których można stworzyć hierarchię w grze kółko i krzyżyk, opartą na 60% udziale zwycięstw dla poszczególnych szczebli umiejętności. Podobnie może być w grze z bardzo dużym udziałem losu, gdy nawet duży poziom umiejętności nie gwarantuje wygrania 60% partii.

W grach takich jak szachy, gdzie bardzo dużo zależy od umiejętności, a udział szczęścia jest minimalny, możemy mieć bardzo długi łańcuch umiejętności. I faktycznie – na podstawie wyników ogromnej liczby partii, stworzony został ranking Elo, który dość precyzyjnie pozwala oszacować szanse na to, że jeden gracz pokona drugiego. 60% szans na zwycięstwo odpowiada w przybliżeniu różnicy 70 punktów w rankingu (przy różnicy 150 punktów szanse rosną do 70%, a różnica 240 punktów daje 80% szans). Oczywiście nikt nie liczy rankingu Elo dla najgorszych graczy – przyjmuje się, że początkujący gracz ma ranking 1000 punktów. Ale wśród tych początkujących są też lepsi i gorsi, więc można przyjąć, że ranking najsłabszego na świecie gracza jest w rejonie 700 punktów. A ponieważ ranking najlepszych graczy jest na poziomie 2800 punktów, długość łańcucha umiejętności to około 30.

Dla porównania: w szachach z kostką, gracz musi wygrywać 80% partii w zwykłe szachy (co odpowiada różnicy 240 punktów Elo), by mieć 60% szans na zwycięstwo po rzucie kostką. Można zatem uznać, że łańcuch umiejętności dla tej gry ma długość 10. Dodanie losowości do gry nie zmieniło umiejętności graczy ale zmniejszyło korzyść z umiejętności. I dlatego łańcuch korzyści skrócił się z 30 do 10. Przykład ten pokazuje, że nie ma uniwersalnej metody na tworzenie rankingu i trzeba go dostosować do specyfiki danej gry.

Łańcuch umiejętności nie jest cechą gry lecz raczej cechą społeczności graczy. Wyobraźmy sobie, że na jakiejś planecie żyje rasa genialnych kosmitów, którzy potrafią zaplanować szachową rozgrywkę nie na kilka ale na sto ruchów naprzód. Przyjmując, że przy optymalnej grze zawsze wygrywają białe, wyniki partii będą zawsze takie same, niezależnie kto z kim gra. Łańcuch umiejętności w tym przypadku będzie miał długość 1.

Łańcuch umiejętności może z biegiem czasu wydłużać się lub skracać. W przypadku nowej gry początkowo różnice poziomów graczy różnić się będą nieznacznie. Dopiero po jakimś czasie okaże się, że z racji albo większych zdolności albo większej liczby rozegranych partii, niektórzy gracze zaczną wygrywać znacznie częściej niż inni i w ten sposób łańcuchy zaczną się wydłużać. Szachy czy go mają już na tyle wiekową tradycję, że mogły powstać dość długie łańcuchy umiejętności. Ale może też wystąpić proces odwrotny. Ktoś odkryje i rozpowszechni stosunkowo proste do opanowania a jednocześnie skuteczne strategie i to sprawi, że doświadczenie w grze przestanie odgrywać istotną rolę. Przykładem może być gra Nim, w której rozgrywka sprowadza się do realizacji prostego algorytmu, oczywiście pod warunkiem, że ktoś ten algorytm zna.

Aby porównać, który z dwóch graczy ma większe umiejętności, najlepiej przeprowadzić serię gier. Bo gracz, który wygrywa w 60% przypadków, pojedynczą partię może oczywiście przegrać (szanse na to ma przecież aż 40%) i za lepszego może zostać uznany gracz w rzeczywistości gorszy. Im więcej rozgrywanych partii, tym szansa na wskazanie „niewłaściwego” zwycięzcy jest mniejsza. Jeżeli mecz toczy się do dwóch wygranych partii, to przy stosunku 60:40 lepszy gracz ma 64,8% szans na zwycięstwo, do trzech wygranych – 68,3%, a do czterech (best of seven) – 71,0%. Na to, by przy stosunku umiejętności 60:40 lepszy gracz wygrał z prawdopodobieństwem minimum 90%, potrzebny jest mecz do aż 21 wygranych partii.