Scrabble Matematyka w grach. Felieton
Ten tekst przeczytasz w 11 minut

Na pierwszy rzut oka Scrabble to gra humanistyczna, w której decydującą rolę odgrywa zasób słownictwa, a matematyka sprowadza się do prostych działań – sumowania punktów za litery i ewentualnie mnożenia, gdy układany wyraz przechodzi przez pole premii literowej lub słownej. W tym tekście postaram się wykazać, że do dokładniejszej analizy gry matematyka jest przydatna, a nawet niezbędna.

Podstawowym zagadnieniem „matematycznym” jest ustalenie, ile powinno być płytek z daną literą i jaka powinna być wartość punktowa tej litery. Wiadomo, że niektóre litery występują w polskim słownictwie częściej, a inne rzadziej. Tych częściej występujących powinno być w zestawie więcej, bo występują w większej liczbie wyrazów i są przez to bardziej potrzebne. Ale z drugiej strony łatwiej takich liter można użyć, więc powinny być niżej punktowane. Oczywiście łatwo zauważyć, że litera A występuje w języku polskim częściej niż Ź ale porównanie, czy więcej jest wyrazów z literą B czy D już takie łatwe nie jest. A sama hierarchia częstości występowania nie wystarczy, bo trzeba jeszcze dobrać odpowiednie proporcje.

Gdy w 1979 roku Marek Penszko opublikował w Kalendarzu Szaradzisty przepisy wzorowanej na Scrabble „Gry w krzyżówkę”, przy doborze liczb poszczególnych liter i punktów za każdą literę wykorzystał dane, zawarte w artykule Barbary Kowalskiej „Częstość występowania liter w języku polskim”, opublikowanym w 1967 roku w branżowym piśmie poligrafów „Litera”. Tym samym źródłem posłużył się Jacek Ciesielski, przedstawiając najpierw w tygodniku „Razem” (1986) zasady gry wraz z planszą i zestawem żetonów do samodzielnego wycięcia, a następnie przygotowując pierwsze polskie wydanie Scrabble w 1993 roku.

Autorka artykułu w „Literze” zebrała dostępne w owym czasie statystyki występowania liter i po prostu wyciągnęła z nich średnią arytmetyczną. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że uśrednienie wyników z siedmiu różnych źródeł powinno przybliżać do „prawdy obiektywnej” ale w tym przypadku można mieć co do tego wątpliwości. Przede wszystkim dlatego, że zbiory tekstowe, na podstawie których obliczano frekwencje liter, były różnej wielkości (od 10 tysięcy do 200 tysięcy znaków) i w różny sposób powstawały. Trzy z nich były opracowaniami Polskiego Komitetu Normalizacji i zostały przygotowane podczas prac nad polską wersją klawiatury do maszyn do pisania, jeden powstał na potrzeby artykułu naukowego, a dwa były dziełem tłumaczy, którzy musieli zastąpić dane z oryginalnych książek, odnoszące się do frekwencji liter w języku rosyjskim. Ale było jedno źródło bardzo dziwne, bo oparte na częstości występowania nie liter, tylko głosek. Dane z tego źródła znacznie odbiegały od pozostałych, bo głoski rejestrowane „ze słuchu” zaniżyły częstość występowania jednych liter, a zawyżyły innych (m.in. dlatego, że np. w słowie „pączek” nie została zarejestrowana litera „ą”, a zamiast niej litery „o” i „n”). Pamiętać trzeba też o tym, że wszystkie opracowania źródłowe powstały w latach 1951-61, a więc z pewnością były obarczone błędami, wynikającymi z „ręcznego” liczenia liter.

Warto zauważyć, że aktualna wersja gry Scrabble różni się od pierwszego wydania w kilku szczegółach: liter A jest 9 a nie 8, litera F jest na jednej płytce, a nie na dwóch i ma wartość 5, a nie 4, natomiast litera Ź zdrożała z 7 do 9 punktów. Dlaczego litera F została początkowo uznana za częściej występującą niż np. Ą, choć nawet średnia z artykułu w „Literze” na to nie wskazuje, tego nie wiadomo. Być może zdecydowało to, że po jednej płytce dostały tylko typowo polskie litery (z wyjątkiem Ł), a może to dlatego, że w jednym źródle (akurat tym „fonetycznym”) udział litery F wyniósł aż 1,5% ?

Poniżej przedstawiam Tabelę 1, w której zestawiłem częstotliwość występowania liter (od najpopularniejszych do najrzadszych) na podstawie różnych źródeł. Przy porównywaniu wyników trzeba pamiętać, że w odróżnieniu od pozostałych statystyk, słownik scrabblisty nie uwzględnia wyrazów jednoliterowych (a, i, o, u, w, z) oraz dłuższych niż piętnastoliterowe.

li- tera	pły- tek	udział	pkt	OSPS	IPI	Litera	Krypto	Pętla	GG	ZM
A	9	9,18%	1	9,50%	8,91%	8,49%	9,02%	8,70%	10,46%	8,87%
I	8	8,16%	1	9,40%	8,21%	8,26%	8,09%	8,98%	8,27%	7,99%
E	7	7,14%	1	7,57%	7,66%	7,44%	7,51%	7,75%	9,91%	7,27%
O	6	6,12%	1	7,47%	7,75%	7,70%	7,90%	6,82%	8,09%	7,58%
N	5	5,10%	1	6,94%	5,52%	5,46%	5,81%	4,59%	5,15%	5,57%
Z	5	5,10%	1	4,34%	5,64%	5,80%	5,17%	6,34%	6,11%	6,06%
W	4	4,08%	1	4,12%	4,65%	4,50%	4,78%	3,79%	3,39%	5,04%
R	4	4,08%	1	3,78%	4,69%	4,51%	5,06%	3,72%	3,53%	4,49%
S	4	4,08%	1	3,03%	4,32%	4,52%	4,46%	4,07%	4,57%	4,26%
Y	4	4,08%	2	5,27%	3,76%	3,78%	3,70%	3,82%	3,25%	4,35%
C	3	3,06%	2	4,13%	3,96%	3,81%	3,96%	3,79%	3,93%	3,94%
M	3	3,06%	2	4,11%	2,80%	2,57%	2,73%	3,41%	3,73%	2,59%
K	3	3,06%	2	2,98%	3,51%	3,02%	3,54%	3,50%	3,42%	3,74%
P	3	3,06%	2	2,78%	3,13%	2,93%	2,92%	3,19%	2,66%	3,02%
L	3	3,06%	2	2,34%	2,10%	2,04%	2,36%	1,85%	2,53%	1,91%
T	3	3,06%	2	2,24%	3,98%	3,54%	3,94%	3,72%	4,53%	3,62%
D	3	3,06%	2	2,21%	3,25%	3,36%	3,23%	3,44%	3,12%	3,55%
U	2	2,04%	3	2,78%	2,50%	1,87%	2,59%	2,22%	2,03%	2,81%
Ł	2	2,04%	3	2,70%	1,82%	1,90%	1,82%	3,55%	1,19%	2,23%
B	2	2,04%	3	2,32%	1,47%	1,26%	1,39%	1,77%	1,98%	1,17%
J	2	2,04%	3	1,92%	2,28%	2,32%	2,26%	2,12%	2,89%	1,96%
G	2	2,04%	3	1,36%	1,42%	1,38%	1,54%	1,34%	1,11%	1,36%
H	2	2,04%	3	1,14%	1,08%	1,19%	1,25%	0,93%	1,12%	1,01%
Ą	1	1,02%	5	1,43%	0,99%	0,84%	0,95%	1,24%	0,33%	1,13%
Ś	1	1,02%	5	1,31%	0,66%	0,76%	0,58%	0,93%	0,47%	0,65%
Ę	1	1,02%	5	0,80%	1,11%	1,15%	0,98%	1,81%	0,71%	1,22%
Ż	1	1,02%	5	0,78%	0,83%	0,69%	0,66%	0,96%	0,53%	0,77%
F	1	1,02%	5	0,35%	0,30%	0,37%	0,41%	0,19%	0,22%	0,28%
Ó	1	1,02%	5	0,35%	0,85%	1,22%	0,89%	0,72%	0,34%	0,93%
Ć	1	1,02%	6	0,19%	0,40%	0,47%	0,26%	0,51%	0,31%	0,29%
Ń	1	1,02%	7	0,25%	0,20%	0,19%	0,21%	0,15%	0,06%	0,22%
Ź	1	1,02%	9	0,09%	0,06%	0,10%	0,07%	0,07%	0,04%	0,12%
polskie		10,20%		7,90%	6,92%	7,32%	6,42%	9,94%	4,00%	7,56%
samo- głoski		39,80%		44,59%	41,74%	40,75%	41,63%	42,05%	43,40%	42,16%

W kolejnych kolumnach tabeli podane są: litera, liczba płytek z tą literą w zestawie Scrabble, udział procentowy w zestawie, punktacja tej litery, a następnie frekwencja liter na podstawie różnych źródeł:

– OSPS – Oficjalny Słownik Polskiego Scrabblisty

– NKJP – Narodowy Korpus Języka Polskiego, opracowany przez IPI PAN

– Litera – artykuł Barbary Kowalskiej w czasopiśmie „Litera” [1]

– Krypto – strona http://practicalcryptography.com/cryptanalysis/letter-frequencies-various-languages/

– Pętla – opowiadanie Marka Hłaski „Pętla” [2]

– GG – zbiór zapisów rozmów z komunikatora Gadu-Gadu [2]

– ZM – artykuł L. Zubrzyckiej z czasopisma Zastosowania Matematyki [3]

Dwa dolne wiersze zawierają procentowy udział „polskich liter” (ą, ć, ę, ł, ń, ó, ś, ź, ż) oraz samogłosek.

Garść informacji na temat źródeł (poza przedstawionym wcześniej artykułem z „Litery”). Wykorzystałem pierwsze wydanie OSPS, zawierające ok. półtora miliona wyrazów, co daje ok. 15 milionów liter.

Narodowy Korpus Języka Polskiego to zrównoważony językowo i tematycznie zbiór polskich tekstów. Lista źródeł korpusu zawiera nie tylko klasykę literatury polskiej, ale też prasę codzienną i specjalistyczną, nagrania rozmów, teksty ulotne i internetowe. Warto dodać, że wyniki z tej kolumny nie sumują się do 100%, ponieważ w statystyce uwzględnione są także litery, nie występujące w języku polskim, a pojawiające się w nazwach własnych, m.in. Q, V oraz X.

Strona „PracticalCryptography” podaje statystyki występowania poszczególnych liter, a także częstotliwość występowania najpopularniejszych zestawów dwuliterowych, trzyliterowych i czteroliterowych w różnych językach. Statystyka dla języka polskiego została opracowana na podstawie złożonego z 90 milionów znaków korpusu języka polskiego z zasobów uniwersytetu w Lipsku.

Statystyki dla opowiadania „Pętla” i zapisu rozmów na Gadu-Gadu (po około 80 tysięcy liter) pochodzą z artykułu Marka Osiewicza i Krzysztofa Skibskiego z Uniwersytetu Adama Mickiewicza w Poznaniu. Autorzy porównali frekwencję liter w dwóch tekstach z XVI wieku z napisanym współczesnym językiem (no może prawie współczesnym, bo z roku 1956) opowiadaniem Marka Hłaski i zapisem rozmów na Gadu Gadu (artykuł został napisany w roku 2012, kiedy ten komunikator był dość powszechnie używany). Oczywiście tych starych tekstów nie brałem pod uwagę. Nie tylko dlatego, że gra Scrabble powstała znacznie później ale przede wszystkim z powodu występowania w nich innego zestawu liter niż we współczesnej polszczyźnie.

Praca Zubrzyckiej miała na celu przygotowanie założeń do reformy systemu stenografii. Chodziło o to, żeby najczęściej występującym literom odpowiadały najszybsze do napisania znaki stenograficzne. Autorka analizowała 4 teksty: polityczno-gospodarczy, naukowo-historyczny, handlowy i literacki. Każdy z nich liczył po około 6 tysięcy liter. Okazało się, że rozkład liter, szczególnie tych rzadziej występujących, był w nich bardzo różny (np. w pierwszym tekście litera Ń wystąpiła tylko raz, a Ź 14 razy, zaś w ostatnim Ń było 15, a Ź 3. Dlatego wykorzystałem średnią dla tych czterech tekstów, opartą na zbiorze 24 tysięcy liter.

W polskiej wersji Scrabble 7 płytek z woreczka można wyciągnąć na 11.268.199 różnych sposobów. Specjalnie wytłuściłem słowo różnych, bo oczywiście wzór na kombinacje, określający liczbę możliwych wyborów 7 elementów ze 100, daje wartość dużo wyższą – ponad 1,6 x 10¹⁰. Ale, jak napisałem wcześniej, tylko niektóre litery w zestawie Scrabble nie powtarzają się, a np. litera A występuje aż w 9 egzemplarzach. Jak można otrzymać liczbę różnych rozwiązań? Otóż każdej literze, która występuje w zestawie tylko raz, przypisujemy wielomian 1+x, tym, co występują po dwa razy wielomian 1+x+x² itd., a następnie wszystkie te wielomiany przez siebie mnożymy (nie polecam robienia tego ręcznie na kartce) czyli wykonujemy działanie:

(1+x)⁹ (1+x+x²)⁷ (1+x+x²+x³)⁷ (1+x+x²+x³+x⁴)⁴ (1+x+x²+x³+x⁴+x⁵)² (1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶)(1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷) (1+x+ x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷+x⁸) (1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷+x⁸+x⁹)

W rezultacie dostajemy długi wielomian stopnia 100, w którym interesuje nas tylko jedna liczba – współczynnik stojący przy wyrazie x⁷ (7 – bo tyle płytek losujemy) i to jest właśnie podana wcześniej wartość: 11.268.199. Oczywiście dla każdej wersji językowej ta wartość może być inna, bo liczby liter w poszczególnych alfabetach są różne, a w dodatku poszczególne wydania mogą się różnić łączną liczbą płytek.

Intersujący może być procentowy udział różnych struktur w wylosowanym układzie płytek, np. jak często się zdarza, że na każdej z wylosowanych płytek będzie inna litera. W Tabeli 2 przedstawiam takie zestawienie dla kilku wersji językowych – polskiej, angielskiej, czeskiej i łacińskiej. Dlaczego akurat te wybrałem te języki? Otóż zestaw dla każdego z nich składa się ze 100 płytek, więc łatwiej można dokonać porównań, a zestaw czeski i łaciński mają odpowiednio najwięcej i najmniej różnych liter.

Rozkład liter	Polski	Angielski	Czeski	Łaciński		Polski	Angielski	Czeski	Łaciński
7	3	4	0	7		0,0000%	0,0001%	0,0000%	0,0010%
61	128	182	39	140		0,0011%	0,0057%	0,0001%	0,0193%
52	138	147	112	144		0,0012%	0,0046%	0,0003%	0,0198%
511	2976	2275	2964	1520		0,0264%	0,0711%	0,0073%	0,2091%
43	160	121	136	143		0,0014%	0,0038%	0,0003%	0,0197%
421	7130	5775	8512	3762		0,0633%	0,1805%	0,0208%	0,5174%
4111	49600	28600	73112	12540		0,4402%	0,8938%	0,1791%	1,7248%
331	4216	1650	5814	1729		0,0374%	0,0516%	0,0142%	0,2378%
322	4301	2520	6804	2142		0,0382%	0,0788%	0,0167%	0,2946%
3211	181815	75600	354312	43092		1,6135%	2,3627%	0,8677%	5,9270%
31111	611320	179400	1480518	67830		5,4252%	5,6067%	3,6258%	9,3295%
2221	60720	36960	135198	17442		0,5389%	1,1551%	0,3311%	2,3990%
22111	1240620	531300	3425016	165699		11,0099%	16,6046%	8,3879%	22,7907%
211111	4833024	1447160	16696953	294576		42,8908%	45,2277%	40,8908%	40,5168%
1111111	4272048	888030	18643560	116280		37,9124%	27,7533%	45,6580%	15,9935%
	11268199	3199724	40833050	727046		100,0000%	100,0000%	100,0000%	100,0000%

Tabela 2

W lewej kolumnie tabeli podany jest układ liter. Samo 7 oznacza wylosowanie siedmiu takich samych liter, 61 – sześciu takich samych i jednej innej itd. aż do 1111111 czyli siedmiu różnych liter. W następnych czterech kolumnach mamy liczbę możliwości dla każdego języka. Np. w języku polskim można wylosować po 7 liter A, E oraz I, w angielskim po 7: A, E, I oraz O natomiast w czeskim zestawie żadna litera nie występuje w 7 egzemplarzach. Ostatnie 4 kolumny to procentowy udział poszczególnych układów liter. Jak widać z tego zestawienia, tylko w języku czeskim najbardziej prawdopodobne jest wylosowanie siedmiu różnych liter (a to dlatego, że w czeskim wydaniu Scrabble jest aż 39 różnych liter plus oczywiście blanki). W trzech pozostałych wersjach zazwyczaj gracz losuje zestaw, w którym jedna litera się powtarza. Oczywiście w polskim wydaniu najczęściej powtarza się litera A (raz na 10 losowań). Ale raz na 236 partii można na początku gry wylosować dwa blanki.

Istotnym zagadnieniem dla gracza jest proporcja samogłosek i spółgłosek. Według autorów książki [4], „idealny stojak” powinien zawierać od dwóch do czterech samogłosek. W Tabeli 3 można zobaczyć, ile jest możliwości i jaki stanowią procent układy z daną liczbą samogłosek (pionowo) i blanków (poziomo).

	0	1	2		0	1	2
7	15 380 937	0	0		0,096%	0,000%	0,000%
6	192 494 757	6 525 246	0		1,203%	0,041%	0,000%
5	985 120 227	67 939 326	575 757		6,154%	0,424%	0,004%
4	2 673 897 759	281 462 922	4 852 809		16,704%	1,758%	0,030%
3	4 159 396 514	594 199 502	15 636 829		25,984%	3,712%	0,098%
2	3 709 732 026	674 496 732	24 089 169		23,175%	4,214%	0,150%
1	1 757 241 486	390 498 108	17 749 914		10,978%	2,439%	0,111%
0	341 149 446	90 114 948	5 006 386		2,131%	0,563%	0,031%
					86,424%	13,152%	0,424%

Tabela 3

Jak widać, najczęściej zdarza się wylosowanie trzech samogłosek (gdy w układzie nie ma blanka) albo dwóch (gdy jest jeden lub dwa blanki). A jak to wygląda „od drugiej strony” czyli jaki procent stanowią samogłoski w wyrazach różnej długości? W Tabeli 4, opracowanej na podstawie Słownika Scrabblisty, kolejne kolumny odpowiadają wyrazom różnej długości, a kolejne wiersze liczbom samogłosek.

	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	31,36%	6,09%	1,04%	0,15%	0,02%	0,00%
2	66,64%	78,48%	47,40%	18,51%	5,58%	1,42%	0,25%	0,03%	0,00%
3	2,00%	15,39%	49,14%	66,37%	51,93%	28,22%	10,94%	3,58%	0,69%	0,09%	0,02%	0,00%
4		0,03%	2,41%	14,82%	39,66%	55,39%	47,05%	27,73%	9,43%	2,20%	0,59%	0,24%
5				0,15%	2,81%	14,56%	37,42%	48,75%	40,06%	20,40%	6,22%	2,60%
6					0,00%	0,41%	4,31%	18,90%	41,24%	44,45%	29,67%	15,29%
7							0,03%	1,02%	8,36%	29,70%	47,48%	45,51%
8									0,23%	3,13%	15,37%	32,81%
9										0,03%	0,65%	3,51%
10												0,03%

Tabela 4

UWAGA: 0,00% oznacza, że takich wyrazów jest bardzo mało (np. w Słowniku Scrabblisty jest tylko 6 wyrazów dziewięcioliterowych z jedną samogłoską) natomiast puste pole oznacza, że nie ma np. żadnego wyrazu dziesięcioliterowego z jedną samogłoską.

Jak widać, najczęściej samogłoski stanowią nieco mniej niż połowę liter w wyrazie. Oczywiście są wyrazy o znacznie zaburzonych proporcjach. Z nadmiarem samogłosek: AUDIO, AUCIE, OAZIE, AUREOLE, AUDIONIE, AUREUSIE, OCIENIENIE, AEROBIOLOGIA, NIEUOSOBIENIE, AUTOUTLENIANIE, NIEUNIESIENIAMI albo z nadmiarem spółgłosek: BRZUCH, CHRZEST, WRZESZCZ, CHRZĄSZCZ, FECHTMISTRZ, CHRZĄSZCZACH, BEZWZGLĘDNOŚĆ, BEZKSZTAŁTNOŚĆ, WSZECHSTRONNOŚĆ.

Jak wspomniałem wcześniej, na stronie na temat kryptografii podane są najpopularniejsze układy dwóch, trzech i czterech kolejnych liter. Dla kogoś, kto odszyfrowuje teksty, takie informacje są bardzo istotne. Ale i dla Scrabblisty cenna może być wiedza o tym, które litery do siebie pasują.

Jak nietrudno zgadnąć, najpopularniejsze pary kolejnych liter (w artykule [2] nazywane diadami, a na stronie kryptologów – bigramami) to w języku polskim IE oraz NI. Na następnych miejscach kolejność jest różna. Na podstawie Słownika Scrabblisty reszta pierwszej dziesiątki to: OW, AN, WA, AŁ, ZA, BY, CH, CI; według strony kryptograficznej: OW, ST, NA, AN, PO, CH, CZ, RZ; w opowiadaniu „Pętla”: RZ, PO, AŁ, SZ, CZ, WI, ZY, ZE; a na GADU-GADU: ZE, NA, CZ, TA, TO, AK, SZ, PO.

W Tabeli 5 dla każdej litery podałem (na podstawie Słownika Scrabblisty) po 5 liter występujących po niej i przed nią.

	Po literze z lewej kolumny	Przed literą z lewej kolumny
A	N, Ł, C, M, J	W, Z, I, N, Ł
Ą	C, D, G, Ł, T	J, N, Z, I, C
B	Y, I, A, R, O	O, A, Y, Ł, I
C	H, I, Z, E, Y	Ą, A, Y, Ś, E
Ć	W, M, K, C, P	A, Ś, I, Ę, E
D	O, Z, A, R, E	O, A, E, U, Z
E	M, N, R, J, P	I, Z, N, C, L
Ę	C, T, Ł, D, B	I, N, R, Z, J
F	I, A, O, R, E	E, A, O, U, Y
G	O, A, R, N, I	E, O, A, Z, Y
H	A, O, U, N, E	C, E, O, A, Z
I	E, A, O, Ł, N	N, C, M, L, W
J	Ą, A, E, C, M	A, E, U, I, O
K	A, O, I, R, U	S, E, A, O, Y
L	I, A, E, O, U	A, E, O, I, U
Ł	A, O, Y, B, E	A, I, Y, P, S
M	I, Y, U, A, O	Y, E, A, O, Ś
N	I, A, O, E, Y	A, O, E, I, Z
Ń	S, C, M, K, Ż	A, E, I, O, Y
O	W, D, N, M, B	P, R, Ł, K, G
Ó	W, Ł, R, C, Ż	R, P, K, Ł, T
P	O, R, I, A, L	E, O, A, S, U
R	Z, O, A, Y, U	A, E, P, O, T
S	Z, K, T, I, A	A, E, O, U, Y
Ś	C, M, L, N, W	Y, O, I, E, A
T	A, O, R, Y, E	S, A, O, E, Y
U	J, S, R, C, P	M, K, R, I, T
W	A, Y, I, E, O	O, E, A, Y, Ó
Y	M, Ś, C, B, W	B, W, M, N, Z
Z	A, E, Y, O, I	R, C, S, D, O
Ź	N, W, L, C, M	D, E, A, U, O
Ż	E, A, Y, O, N	E, Y, O, A, J

Tabela 5

Jak łatwo zgadnąć, po samogłoskach najczęściej występują spółgłoski i na odwrót. Ale są pewne wyjątki od tej reguły. Wśród samogłosek litera I, po której najczęściej występują inne samogłoski, a wśród spółgłosek C, R i S oraz wszystkie spółgłoski zmiękczone (Ć, Ń, Ś, Ź).

Jeśli chodzi o zagadnienie odwrotne, to powyższa prawidłowość też zachodzi i też jest kilka od niej wyjątków. Przed literami E i Ę najczęściej występuje litera I, przed K i T – S, przed Z – R, a przed Ź – D. Ciekawa jest sytuacja z literą H. Mniej więcej w 6% przypadków pojawia się na początku wyrazu, w 88% po literze C, a w 6% po wszystkich innych literach łącznie. Druga w kolejności para EH występuje ponad 60 razy rzadziej niż CH.

 

Bibliografia:

[1] Barbara Kowalska „Częstość występowania liter w języku polskim”, Litera, Rok II, nr 13-5/1967

[2] Marek Osiewicz, Krzysztof Skibski „Struktura statystyczna polskiego systemu graficznego.

Analiza historyczno-porównawcza”, Poznańskie Studia Polonistyczne, Seria Językoznawcza t. 19 (39), z. 2, 2012

[3] L. Zubrzycka „O wyznaczaniu systemów stenograficznych”, Zastosowania Matematyki, XI, 3, 1970

[4] Wojciech Usakiewicz, Michał Derlacki „Grajmy w Scrabble”, Wydawnictwo KLEKS, Bielsko-Biała 1998